将有序数组转换为二叉搜索树

怎样从“有序数组 [-10,-3,0,5,9] 转高度平衡 BST。”推导出 BST · 有序转平衡，并证明每次状态变化都不会漏掉答案？

中心结论：递归选 mid 作根,左半建左子,右半建右子。

将一个按照升序排列的有序数组，转换为一棵高度平衡二叉搜索树。本题中，一个高度平衡二叉树是指一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。

在本站主例中，有序数组 [-10,-3,0,5,9] 转高度平衡 BST。

算法最终需要得到或观察：平衡 BST 根为 0。

从每个节点重新遍历子树会重复计算；递归让每棵子树只计算一次并向父节点返回摘要。

暴力方案的价值是确认题意并提供正确性基线。它通常会覆盖所有候选， 但没有保存已经确认的信息，因此同一状态会被重新计算。

1. 1建模把输入翻译成“递归回执树”，明确答案需要观察什么。
2. 2状态只维护 lo/hi 区间、mid 根。
3. 3转移每一步按照 递归选 mid 作根,左半建左子,右半建右子。
4. 4收尾读取 平衡 BST 根为 0。，并复核边界与复杂度。

先用一句话定义递归函数返回什么，父节点才能正确合并。

这道题不是为了记住一个组件名称，而是为了让状态具有可解释的语义：lo/hi 区间、mid 根。

把一个有序数组转换成高度平衡的二叉搜索数，按照定义即可

递归选 mid 作根,左半建左子,右半建右子。

执行过程中持续维护：lo/hi 区间、mid 根。

正确性依赖以下不变量：子树区间互不重叠,覆盖整个数组。选 mid 使左右规模差不超过 1。

面试时可以压缩为：数组已有序,选中间元素作根则左半小于根、右半大于根,天然 BST;每次选中点均分左右保证高度平衡。递归 build(lo,mid-1) 与 build(mid+1,hi)。时间 O(n),辅助空间 O(log n)。

落到当前题，执行机制可以压缩为：递归选 mid 作根,左半建左子,右半建右子。每一次更新都必须保持核心不变量，而不是只让样例碰巧得到正确答案。

1. 1题目与输入有序数组 [-10,-3,0,5,9] 转高度平衡 BST。 因为：递归选 mid 作根,左半建左子,右半建右子。
2. 2后序返回高度叶子高度为 1。 因为：深度 = 1 + 子树较高者。
3. 3结点 -3 深度 2DFS 记录当前层。 因为：根到该结点边数 = 深度。
4. 4预测下一步先不要看下一帧——根据当前不变量,预测算法接下来会怎么动。 因为：主动预测会暴露你对不变量的真实理解,比被动看动画有效得多。
5. 5结点 5 深度 3DFS 记录当前层。 因为：根到该结点边数 = 深度。
6. 6结点 9 深度 3DFS 记录当前层。 因为：根到该结点边数 = 深度。
7. 7最大深度 3扫描结束。 因为：O(n) DFS。
8. 8收尾与复杂度平衡 BST 根为 0。 因为：时间 O(n) · 空间 O(log n)。递归选 mid 作根,左半建左子,右半建右子。

代码窗口不会按容易漂移的固定数字行号硬绑动画，而是根据当前语义阶段， 在完整 Go 实现中定位选择、计算、写回或返回分支。当前变量与高亮行一起变化。

// TreeNode define
/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */

func sortedArrayToBST(nums []int) *TreeNode {
	if len(nums) == 0 {
		return nil
	}
	return &TreeNode{Val: nums[len(nums)/2], Left: sortedArrayToBST(nums[:len(nums)/2]), Right: sortedArrayToBST(nums[len(nums)/2+1:])}
}

func main() {
    // 1. 主例
    //    输入：mode="max-depth", values=[-10,-3,0,5,9]
    //    期望：平衡 BST 根为 0。
    //
    // 2. 失败 / 未命中
    //    检查：总是选左端当根会退化成链。
    //
    // 3. 边界
    //    空输入、单元素、最小合法规模，以及答案恰好落在边界的情况。
    //
    // 4. 迁移
    //    LC109 链表转 BST；LC98 验证
}

Go 参考实现基于 halfrost/LeetCode-Go 的 MIT 许可代码整理，并按本站教学结构补充解释与动画映射。

1. 1题意有序数组 [-10,-3,0,5,9] 转高度平衡 BST。
2. 2重复从每个节点重新遍历子树会重复计算；递归让每棵子树只计算一次并向父节点返回摘要。
3. 3优化递归选 mid 作根,左半建左子,右半建右子。
4. 4证明子树区间互不重叠,覆盖整个数组。选 mid 使左右规模差不超过 1。
5. 5复杂度时间 O(n)，空间 O(log n)